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2008年度　開成中学校算数入試問題

開成学園　開成中学校過去問対策研究

2008年度開成中学校の算数入試問題は　基本レベルの数の性質、立体図形の投影、図形上の点の移動２題の大問４題構成でした。

算数入試問題（条件整理と平面図形上の点の移動にチャレンジ）

3　問題

１辺の長さが１０cmの正方形ABCDがあります。右の図のE,F,Hは正方形の各辺の真ん中の点であり、OはEFとGHが交わった点です。点Pは点Aから秒速１ｃｍで図の線上を　　A→E→O→F→C→G→O→H→Aと移動します。　また点Qは、点Pと同時に点Aを出発して、正方形ABCDの周上を点Pより速い一定の速さで時計回りにまわります。このとき以下の問に答えなさい。
(1) 点Pが正方形ＡＢＣＤの周上を動いている間の移動の様子のグラフを解答用紙に書き込みなさい。（点Pが正方形ABCDの周上を動いていない時間は何も書き込んではいけません。）

(2) 点Ｑは出発してから２周目にＣＦ上のＣから1cmの地点で点Ｐと初めて重なりました。点Ｑの速さは秒速何ｃｍですか。

また、点Ｐと点Ｑが出発してから２回目に重なるのはどの地点ですか。解答欄の下線部に適当な数、または文字を書き込みなさい。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解説・解答で、開成中学校の発表ではありません。

(1)　解説解答

(1) 点Pが正方形ＡＢＣＤの周上を動いている間の移動の様子のグラフを解答用紙に書き込みなさい。（点Pが正方形ABCDの周上を動いていない時間は何も書き込んではいけません。）

解説

		Pが動いている位置
①	０秒→５秒	AE
①	５秒→１５秒	EF
②	１５秒→２０秒	FC
③	２０秒→２５秒	CG
③	２５秒→３５秒	GH
④	３５秒→４０秒	HA

よって点ＰがＡＢＣＤ上にあるのは①０秒～５秒、②③１５秒～２５秒、④３５秒～４０秒の間。

答

(2-1)　解説解答

(2)点Ｑは出発してから２周目にＣＦ上のＣから1cmの地点で点Ｐと初めて重なりました。点Ｑの速さは秒速何ｃｍですか。　

解説

点Gが点Pとはじめて重なる時間　＝　点PがCF上のCから1cmまで進むのにかかる時間

１９秒間で点Qが進む距離　　４０＋２１＝６１（ｃｍ）　　　　　点Qの速さ　　６１÷１９＝３ 4/19 　　　

答　　　　秒速　３ 4/19ｃｍ

(2-2)　解説解答

また、点Ｐと点Ｑが出発してから２回目に重なるのはどの地点ですか。解答欄の下線部に適当な数、または文字を書き込みなさい。

解説

点Qの速さは　秒速３ 4/19ｃｍなので　１周（４０ｃｍ）するのにかかる時間　４０÷３ 4/19　＝760/61秒　（１）のグラフに点Qの動きを重ねると

グラフより点Qが２度目に重なるのは点Qが出発して３周目で３５秒から　760/61 ×３　＝2280/61秒の間

出発して３５秒後の点Pの位置　＝　H　　

出発して３５秒後の点Qの位置　３５×３ 4/19　＝2135/19　　　　Dから 45/19ｃｍの地点　

このとき点Pと点Qの差　５－45/19　＝50/19　　

重なるのは　３５秒後から　さらに　　50/19　÷　（３ 4/19－１）＝１ 4/21秒後　

点Pの速さは秒速１ｃｍなので　AH上のHから１ 4/21ｃｍ