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開成学園　開成中学校過去問研究

2012年度開成中学校の算数入試問題は、昨年度の小問がなくなり、大問のみの4問構成でした。　2011年度算数合格者平均点が72.1点　合格者平均得点率が84.8％だったのに比べ2012年度は合格者平均点55.7点　合格者平均得点率65.5％と大幅に得点率がさがり、難易度の高い出題でした。

今回は２．平面図形を解説します。2012年度の算数問題の中では比較的平易です。受験生の得点源になったでしょう。

(1)解説・解答

(1)　ＡＦ，ＢＤの長さをそれぞれ求めなさい。 ＡＦの長さを求める。 解説 三角形ＡＥＤは三角形ＡＢＤを折り返した形なので、　三角形ＡＢＤと三角形ＡＥＤは合同。 ＢＣ＝７ｃｍ　　ＦＣ＝３ｃｍなので　三角形ＡＢＦ：三角形ＦＡＣ＝７－３：３＝４：３ ＡＦと同じ長さになる点をＡＢ上におき、その点をＦ’とすると　三角形ＢＦ’Ｄ＝三角形ＥＦＤ 三角形ＤＥＦ：三角形ＡＢＣ＝１：７　なので　三角形ＢＦ’Ｄ：三角形ＡＢＣ＝１：７ 以上から　　 三角形ＡＦ’Ｄ：三角形ＡＤＦ：三角形ＢＦ’Ｄ：三角形ＡＦＣ ＝（7－1－3）÷２：（7－1－3）÷２：１３＝１．５：１．５：１：３＝３：３：２：６ よって　三角形ＡＦ’Ｄ：三角形ＢＦ’Ｄ＝３：２ ＡＦ’：Ｆ’Ｂ＝３：２ ＡＢ＝６ｃｍ　なので　ＡＦ’＝６÷（３＋２）×３＝３．６ ＡＦ’＝ＡＦ　より　ＡＦ＝３．６ ＢＤの長さを求める。 解説 三角形ＡＦ’Ｄ：三角形ＡＤＦ：三角形ＢＦ’Ｄ：三角形ＡＦＣ＝３：３：２：６ より　三角形ＡＢＤ：三角形ＡＤＦ＝３＋２：３＝５：３ ＢＦ＝４ｃｍ　なので ＢＤ＝４÷（５＋３）×５＝２．５ 答　　　ＡＦ＝３．６ｃｍ，　　　ＢＤ＝２．５ｃｍ

(2)解説・解答

三角形ＡＣＤを２点ＡとＤを通る直線を軸として回転してできる立体の体積は、三角形ＡＢＤを２点ＡとＤを通る直線を軸として回転してできる立体の体積の何倍ですか。 解説 三角形ＡＣＤを２点ＡとＤを通る直線を軸として回転してできる立体は図の通りＣＪを半径としてＡＪとＤＪを高さとする三角すい２つ。 体積は　ＣＪ×ＣＪ×3.13×ＡＤ÷３ 三角形ＡＢＤを２点ＡとＤを通る直線を軸として回転してできる立体は　ＢＩを半径としてＡＤを高さとする三角すい。 体積は　ＢＩ×ＢＩ×3.14×ＡＤ÷３ 三角形ＡＣＤと三角形ＡＤＢの面積比は　３＋６：５＝９：５　なので　ＣＪ：ＢＩ＝９：５ よって　体積比は　９×９×3.13×ＡＤ÷３：５×５×3.14×ＡＤ÷３＝９×９：５×５＝８１：２５ 三角形ＡＣＤを２点ＡとＤを通る直線を軸として回転してできる立体の体積は、三角形ＡＢＤを２点ＡとＤを通る直線を軸として回転してできる立体の体積の　（８１÷２５）倍 ８１÷２５＝３．２４ 答　　　3.24倍