2007年度慶應義塾中等部入試問題(過去問)解答解説

まず２つの三角形△ABP+△DPCを求めます。
台形ABCD＝(20+10)×30÷2＝450 　よって450−210＝240（c�u）
もしCDの長さがABと同じ20�pだったら、20�pのときの点をD’とすると△ABP＋△D’PC＝ABCD’÷２となるので
ABCD’÷２＝20×30÷２＝300（c�u）

これより図の△PD’D＝300−240＝60（c�u）となります。PCの長さは△PD’Dの高さと等しいので
DD’＝10�pよりCP＝60×2÷10＝12

Pがどこにあってもまた下のような図形でも斜線の部分の面積は長方形ABCDの2分の1

ADと平行にPから直線を引いてDCを延長した直線との交点をEとすると

ADを底辺とするとPを頂点としたときもEを頂点としたときも高さが等しくなるので
（△APDの面積）＝（△AEDの面積）となります。
よって、△AEDの面積は　210 c�u となるので
△AEDの底辺をDEとしたとき、高さは30cm より　DE＝210×2÷30 から　DEは　14cm となります。

上図のようにPEの延長とABとの交点Fをとると　AF＝14cm より　FB＝6cm
△FBPと△ECPは相似なので、相似比は　AF：EC＝3：2よりPB：PC＝3：2だからPC＝30÷5×2＝12
答え12cm

ABと平行にPを移動すればPがどこにあっても△ABPの面積は底辺はAB、高さは同じなので、いつも同じというどちらも三角形の面積の性質を使っています。問題によっていろいろな性質を使い分けられるようにししましょう。

相似形を用いた解法
点Ｄから辺ＡＢに垂線を引き辺ＡＢとの交点をＥとする。また辺ＡＤ上の点Ｆが角ＦＰＣ＝角Ｒとなるようにおき、辺ＦＰと辺ＤＥとの交点をＰ’とする。

三角形ＡＰＤは辺ＥＤと辺ＦＰが直角に交わったタコ形の四角形で面積を求められる。辺ＥＤ＝３０ｃｍ,　面積は２１０ｃ�u　辺ＦＰ＝２１０×２÷３０＝１４　P'P=10cm よって　辺ＦＰ’＝４cm

三角形AEDと三角形FP'Dは相似で、相似比は�D：�A　

よって辺Ｐ’Ｄ＝ＰＣの長さは　３０÷５×２＝１２cm