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2009年度桜蔭中学校算数入試問題(過去問)解答・解説

桜蔭学園　桜蔭中学校高等学校算数過去問対策研究

2009年度は都内最難関女子中学校（桜蔭中学校・女子学院中学校）が、算数入試問題に図形上の点の移動を取り上げました。それぞれの問題を解き比べてみましょう。

算数入試問題　注目の一題（図形上の点の移動にチャレンジ)
　　　　　　　　女子学院中学校２００９年度算数入試問題　注目の一題　図形上の点の移動

問題



		Ⅴ　図のように、たて２０ｃｍ、横１０ｃｍの長方形ABCDがあります。　この長方形の辺上を、点Pは点Aを出発してA→B→CDA・・・・・の順に、点Qは点Pと同時に点Bを出発して、BCDAB・・・・・の順に動きます。最初の１周は、点Pは毎秒１ｃｍ、点Qは毎秒２ｃｍの速さで動きます。その後、点Pは２周目は毎秒２ｃｍ、３周目は毎秒３ｃｍ、・・・・、点Qは２周目は毎秒３ｃｍ、３周目は毎秒４ｃｍ、・・・・・のように、どちらの点も１周ごとに秒速を１ｃｍずつ増しながら動きます。（１）　点Qが点Pにはじめて重なるのは、出発してから何秒後ですか。（２）　１周目から３周目までについて、２点P,Qがそれぞれ長方形ABCDを１周するのにかかる時間を解答用紙の表に書き入れなさい。ただし、単位は秒としなさい。（３）　出発してから１００秒後に２点P,Qはどこにいますか。下の例のように解答用紙の図１に点P,図２に点Qの位置を書き入れなさい。考え方も書きなさい。　（４）　出発してから１００秒間の間で、点Qが点Pと最後に重なるのは出発してから何秒後ですか。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解答で、桜蔭中学校の発表ではありません。

（１）解答　

（１）　点Qが点Pにはじめて重なるのは、出発してから何秒後ですか。

解説
　
　　点Qが長方形ABCDを１周するのにかかる時間　６０÷２＝３０　
　　３０秒後点Pは　３０×１＝３０　点Aより３０ｃｍ進んだ地点Cにいる。
　　BC間２０ｃｍを点Qが点Pを追いかけて　追いつくのにかかる時間　
　　点Pの秒速は１周目の途中なので１ｃｍ/秒、点Qの秒速は２周目の途中なので３ｃｍ/秒　
　　２０÷（３－１）＝１０　３０＋１０＝４０　　　　

答え　４０秒後　

（２）解答

（２）　１周目から３周目までについて、２点P,Qがそれぞれ長方形ABCDを１周するのにかかる時間を解答用紙の表に書き入れなさい。ただし、単位は秒としなさい。

解説

点P　１周目　速さ　１ｃｍ/秒　６０÷１＝６０（秒）　２周目　速さ　２ｃｍ/秒　６０÷２＝３０（秒）　３周目　　速さ　３ｃｍ/秒　６０÷３＝２０（秒）
点Q　１周目　速さ　２ｃｍ/秒　６０÷２＝３０（秒）　２周目　速さ　３ｃｍ/秒　６０÷３＝２０（秒）　３周目　　速さ　４ｃｍ/秒　６０÷４＝１５（秒）

解答

	１周目	２周目	３周目
点P	６０（秒）	３０（秒）	２０（秒）

点Q	３０（秒）	２０（秒）	１５（秒）

（３）解答

（３）　出発してから１００秒後に２点P,Qはどこにいますか。下の例のように解答用紙の図１に点P,図２に点Qの位置を書き入れなさい。考え方も書きなさい。

解説

　　点P　（２）より　１周目＋２周目＝６０＋３０＝９０秒　１００秒後は　Aより３周目の速さ３ｃｍ/秒で１０秒間進んだ地点　１０×３＝３０　C地点

　　点Q　（２）より　１周目＋２周目＋３周目＝３０＋２０＋１５＝６５秒　４周目　６０÷５＝１２　５周目　６０÷６＝１０　６周目　６０÷７＝8 4/7
６周回り終わるのに、95 4/7秒　１００－95 4/7＝4 3/7　Bを出発して秒速８ｃｍで4 3/7秒進んだ地点　８×4 3/7＝３５ 3/7

　別解　１周目　６０秒の1/2,　２周目　６０秒の1/3,　３周目　６０秒の1/4,　４周目　６０秒の1/5・・・・・
　　　６０×（1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7)=95 4/7 　　１００－95 4/7＝4 3/7　Bを出発して秒速８ｃｍで4 3/7秒進んだ地点　８×4 3/7＝３５ 3/7

解答

（４）解答

（４）　出発してから１００秒間の間で、点Qが点Pと最後に重なるのは出発してから何秒後ですか。

解説

（３）より　出発して95 4/7秒後　点QはB地点　点PはAから5 4/7×３＝117/7ｃｍの地点　このとき　点PQ間の差　117/7ー１０＝47/7ｃｍ　点Qが点Pと重なるのは　47/7÷（８－３）＝47/35秒後　95 4/7＋47/35＝96 32/35 　　

答　　　96 32/35秒後