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2008年度　桐朋中学校入試問題(過去問)解答解説

桐朋中学校過去問研究

算数入試問題　　平面上の点移動

問題[7]　

　

図のように、辺ＡＢ，ＡＤの長さがそれぞれ２４ｃｍ、６ｃｍの長方形ＡＢＣＤがあります。
ＥＦはそれぞれ辺ＡＢ，ＣＤを２等分する点です。点Ｐは点Ａを出発し、毎秒２ｃｍの速さで長方形ＡＢＣＤの辺上をＡ,Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ，Ｂ，・・・の順にまわります。
点Ｑは点Ｐと同時に点Ａを出発し、毎秒３ｃｍの速さで長方形ＡＤＦＥの辺上をＡ，Ｄ，Ｆ，Ｅ，Ａ，Ｄ・・・の順に回ります。
点Ｐ，Ｑは、点Ａを出発してから初めて同時に点Ａに着いたとき、そこで止まります。

(1)　点Ｐ，Ｑが点Ａを出発してから止まるまでにかかる時間は何秒ですか。
(2)　３つの点Ａ，Ｐ，Ｑを結んでできる三角形ＡＰＱの面積が長方形ＡＢＣＤの半分になるのは、点Ｐ，Ｑが点Ａを出発してから何秒後と何秒後ですか。
　(3)　４つの点Ａ，Ｅ，Ｐ，Ｑを結んでできる四角形ＡＥＰＱが平行四辺形になるのは、点Ｐ，Ｑが点Ａを出発してから何秒後ですか。考えられるものをすべて書きなさい。

スペースＯＮＥプロ家庭教師の解説・解答で桐朋中学校の発表ではありません。

（１）解説解答

　(1)　点Ｐ，Ｑが点Ａを出発してから止まるまでにかかる時間は何秒ですか。

解説

　Ｐは１周６０ｃｍを毎秒２ｃｍでまわるので、１周するのにかかる時間　６０÷２＝３０秒

　　　　　　Ｑは１周３０ｃｍを毎秒３ｃｍでまわるので、１周するのにかかる時間　３６÷３＝１２秒

　　　　点Ｐ，Ｑが、点Ａを出発してから初めて同時に点Ａに着く時間　３０と１２の最小公倍数　　　　　　　　　　答　６０秒
（２）解説解答
(2)　３つの点Ａ，Ｐ，Ｑを結んでできる三角形ＡＰＱの面積が長方形ＡＢＣＤの半分になるのは、点Ｐ，Ｑが点Ａを出発してから何秒後と何秒後ですか。

解説

Ｐが頂点にくるとき：Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａの順に，１２，１５，２７，３０，４２，４５，５７，６０秒後，
Ｑが頂点にくるとき：Ｄ，Ｆ，Ｅ，Ａの順に，２，６，８，１２，１４，１８，２０，２４，２６，３０，３２，３６，３８，４２，４４，４８，５０，５４，５６，６０秒後。

点Ｑが点Ｄにいて，点ＰがＢＣ上にくるのは１４秒後，
点Ｑが点Ｆにいて，点Ｐが点Ｂにくるのは４２秒後。

答　　　１４秒後，　４２秒後
（３）解説解答

(3)　４つの点Ａ，Ｅ，Ｐ，Ｑを結んでできる四角形ＡＥＰＱが平行四辺形になるのは、点Ｐ，Ｑが点Ａを出発してから何秒後ですか。考えられるものをすべて書きなさい。

解説

点Ｐ，ＱともにＣＤ上にあるとき：
　　　　１５秒後・・・ＤＱ　３×(１５－１４)＝３(㎝)，ＣＰ＋ＤＱ＝２４－１２＝１２(㎝)，１５＋(１２－３)÷(２＋３)＝１６.８(秒後)

　　　　５０秒後・・・ＣＰ　２×(５０－４５)＝１０(㎝)，５０＋(１２－１０)÷(２＋３)＝５０.４(秒後)


点ＰがＢＣ上，点ＱがＥＦ上にあるとき：
　　　　４２秒後から　４２＋６÷(２＋３)＝４３.２(秒後)

答　　　１６.８秒後，　５０.４秒後，　４３.２秒後
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